从傅里叶级数到傅里叶变换 (From Fourier Series to Four transform)

为什么需要傅里叶变换,从波形处理的角度讲,若只看时间域,各频率耦合在一起,难以看出波的特征。此时,若将其转换到频率域,观察其频谱,则易看出其特点。

傅里叶变换体现了一种转化“求解域”的思想,即从时间域到频率域,空间域到波数域,其原因为某些计算在频率波数域非常简单(如PDE的求解),某些信号在频率域更易看出其特征。傅里叶变换的基础是三角函数正交性(这组正交基找的实在太好了!)。想要懂得傅里叶变换,那必须先懂得傅里叶级数的基本思想。

为什么用简单的三角函数,sin(kx)与cos(nx),就能表示周期函数?本质原因在于sin(kx)与cos(nx)在一个周期内是两两正交的,即:

因此,sin(kx)与cos(nx)为函数空间的一组正交基。函数空间(此处应为希尔伯特空间:完备的内积空间)中任何一个函数都可以用这些基来表示,就如三维欧式空间中任何一个向量都可以用x,y,z来表示一样,不同之处在于对于函数的表示是无穷维的。 如对方波函数SW(x):

此处方波函数为奇函数,只需sin(nx)。求各系数非常简单,方程两边同乘sin(kx),然后在一个周期内积分,可得:

注意:在靠近间断点x=0处,随着所用项(基)的增多,波动(overshoot)越来越靠近间断点,这种现象叫做吉布斯现象(Gibbs phenomenon)。只能减小其影响,但无法避免,这是处理不连续函数的一个巨大障碍。关于吉布斯现象,有个很有意思的典故,见下图。

一般地,任何一个函数f(x)\subset C([-\pi,\pi])(既不是奇函数,也不是偶函数)可以表示为:

进一步,推广到复数域。我们知道e^{-ikx}与e^{inx}是正交的(内积为0),即:

也就是说e^{ikx}是希尔伯特空间的一组正交基。注意此处复数内积运算,需乘其共轭e^{-ikx}。

为什么要应e指数函数形式呢?其原因是用复数形式的e指数函数在计算上方便很多。

傅里叶级数是对周期为T的确定性信号做展开,而傅里叶变换将周期推广到无穷,能对具有任意长度的信号做展开。

傅里叶级数是定义于周期函数的,对更一般的函数,即非周期函数,需将其推广到周期无穷长的情形([-\pi,\pi] \rightarrow [-\infty, +\infty]),从而导出傅里叶变换:

要证上式成立,等价于证明对任一个Good funcionG(t),下式成立:

注意:上图有一个例子特别有意思:狄拉克函数\delta(t),傅里叶变换后为:

这表明:时间域的脉冲信号,其在频率域是“全频的”,即所有频率都有,并且幅度相同。

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